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Jean-Marc FONT
As recentes propostas de Jean Dubuis sobre como usar sons como uma ferramenta de trabalho em um nível espiritual baseiam-se amplamente na correspondência entre os níveis das Sephiroth na Árvore da Qabalah e as notas da escala. Embora não seja necessário entender a aritmética envolvida na construção de uma gama de notas como as usadas na música ocidental (que é diferente das várias escalas musicais usadas em outras partes do mundo, notadamente na Índia), pode ser útil, a título de “cultura”, ter algumas explicações. É isso que vou tentar tornar o mais claro possível, mas será necessário concordar em fazer alguns esforços com aritmética simples para entender a apresentação que se seguirá (na verdade, alguns cálculos com frações, estudados no 5º e 6º ano: é longe…, mas simples o suficiente para não assustar você).
Se, como gostamos de repetir seguindo Pitágoras, o Universo é Número, isso é particularmente verdadeiro para a música, que usa “ruído” de maneira organizada: através do ritmo, mas também e sobretudo através do que o ouvido percebe como a “altura” relativa dos sons usados: alguns são “altos”, outros são “baixos”, e todos os intermediários são possíveis… mas necessariamente sentidos como “harmoniosos”. Foi essa “harmonia”, considerada como o princípio que rege o universo, que Pitágoras procurou encontrar estudando a questão da altura dos sons e formulando-a de maneira rigorosa.
Como ele fez isso? Simplesmente examinando o que acontecia quando uma corda esticada era vibrada (a Lira é o instrumento musical característico da Grécia). Então, esticamos uma corda de certo comprimento e a fazemos vibrar: ela emite um som em uma certa “altura” (em termos técnicos, diremos em uma certa frequência, voltarei a isso). Se pegarmos uma corda esticada da mesma forma, mas com metade do comprimento (na verdade, é a mesma corda com o meio fixado para impedir a vibração), o som é diferente, mais agudo. Mas apresenta uma semelhança com o anterior que faz o ouvido perceber ambos como participando da mesma natureza sonora: isso é o que agora chamamos de oitava.
A corda vibra ao longo de todo o seu comprimento e dá uma certa “nota”.
Cada uma das 2 metades dá a mesma nota, mais alta que a corda inteira. Em vez de pegar metade da corda, vamos beliscá-la em 2/3 de seu comprimento: novo som, mas novamente com uma sensação de grande proximidade com o primeiro: se chamarmos o primeiro de “DÓ”, agora temos um “SOL”.
A parte longa dá uma nota intermediária entre as duas anteriores. Continuando assim com várias posições em relações simples com o comprimento da corda, obteremos uma série de notas que, emitidas juntas duas a duas, geralmente parecerão agradáveis ao ouvido, dizemos “consonantes”.
Agora, um pouco de teoria. O que está acontecendo neste experimento simples? Os diferentes sons que acabamos de ver são caracterizados por sua “frequência”, ou seja, pelo número de vibrações por segundo. São essas vibrações que, transmitidas pela corda ao ar, são por sua vez transmitidas pelo ar passo a passo (como ondas na água) até nosso ouvido (que, por sua vez, as transmite ao cérebro, que as analisa). No entanto, vemos que a frequência de uma nota é inversamente proporcional ao comprimento da corda que a emite (desde que a corda esteja sempre esticada da mesma maneira: aqueles que já tocaram violão ou violino sabem que é preciso “afinar” cada corda apertando-a mais ou menos). Inversamente proporcional: um termo matematicamente bárbaro, mas que simplesmente significa o seguinte: se a corda for duas vezes mais curta (comprimento inicial L dividido por dois), a frequência será duas vezes maior. Exemplo: corda de 30 cm: frequência de 100 vibrações por segundo; corda de 15 cm (portanto, metade): frequência de 200 vibrações por segundo. Corda de 20 cm (portanto, 2/3): frequência de 3/2 de 100, ou 100 multiplicado por 3 e dividido por 2, que é… mas deixarei você fazer o cálculo.
Agora precisamos simplificar um pouco a forma de formular as coisas (é uma técnica básica em matemática, o que provavelmente a torna um pouco entediante): vibrações por segundo, isso demora muito para dizer e ainda mais para escrever. Substituímos por uma palavra simples: hertz, ainda mais abreviado para “hz”. Então, 100 hz = 100 vibrações por segundo.
Munidos dessas noções básicas, agora seremos capazes de construir a escala (à maneira ocidental…). E para começar, procederemos da maneira pitagórica. Para ele, apenas os números 1, 2 e 3 podem ser usados, porque são mais perfeitos que os outros e, portanto, os únicos capazes de representar a harmonia divina.
Com 1, não podemos fazer muita coisa, porque se multiplicarmos (ou dividirmos) uma frequência por 1… ela sempre dá a mesma coisa. Mas com 2, como vimos, obtemos a possibilidade de ter duas notas diferentes: por exemplo, uma (básica) a 100hz e a outra a 200hz (então “na oitava” da anterior). Se usarmos o 2 novamente, passaremos de 200hz para 400hz, uma nova oitava. Nas teorias musicais, supondo que 100 seja um Dó (o que não é verdade, voltarei a isso mais tarde), chamaremos sucessivamente de Dó1, Dó2, Dó3, etc.
Mas tudo isso ainda é limitado: temos apenas notas que são tão “sonicamente” próximas umas das outras que não podemos fazer nada com elas musicalmente. Tudo muda se introduzirmos o 3: por exemplo, passando de 100hz para 300hz: ali, percebemos uma diferença de natureza nessas duas notas, mesmo que nos pareçam particularmente “consonantes”. No entanto, há uma pequena dificuldade aritmética que deve ser compreendida para avançarmos. Se com 200 vamos para a oitava superior, o que acontece com 300? Para notas de uma oitava específica (por exemplo, que vai de Dó1 a Dó2), todas as frequências devem estar contidas dentro dos limites que vão de Dó dessa oitava até o Dó seguinte: no exemplo que uso, entre 100hz e 200hz. No entanto, 300hz está fora da oitava. Para trazê-lo de volta à oitava certa, simplesmente… o dividirei por 2. De fato, essa nota em 300/2, ou 150hz, estará em uma proporção de 2 com aquela de 300hz da oitava seguinte. Está claro?
Então, podemos ir mais longe. Com minha nota em 3/2 (então 150hz se Dó estiver em 100hz), realmente criei uma nova nota, a segunda na escala com Dó: é o Sol. Mas ainda é um pouco limitado para fazer música. Como continuo para obter outras notas? Pitágoras diz: Bem, agora vou pegar essa nova nota (o “Sol”) como a nota base e construir uma terceira nota que será para ela o que ela mesma foi para o Dó inicial. É, de certa forma, o “Sol do Sol”. Qual será sua frequência? Aplico a regra usada anteriormente: multiplico sua frequência por 3/2: ou seja, 150 multiplicado por 3 e dividido por 2, portanto 225. Que azar, fui novamente para a outra oitava. Então, divido novamente por 2, e tenho uma nota em 112,5hz, que se chama Ré. Pegando o Ré como nova base e multiplicando por 3/2, obtenho o Lá, que aqui seria um pouco menos que 169hz. Do Lá, passo para o Mi, depois para o Si (para quem conhece a escala, pode se perguntar onde foi o Fá: veremos isso um pouco mais tarde).
Até agora, raciocinamos com uma frequência base de 100hz. Na verdade, esse raciocínio é válido qualquer que seja a frequência base. Se eu tivesse começado a partir de 300hz, por exemplo, a oitava teria sido a 600hz; o Sol teria sido 300 multiplicado por 3 e dividido por 2, ou 450hz, etc. O que precisamos para constituir uma escala são, portanto, os números, entre 1 e 2, pelos quais devemos multiplicar a frequência base, aquela do Dó, para obter as outras. Para Pitágoras, esses números, como vimos, são construídos sistematicamente multiplicando por 3 e depois dividindo por 2 quantas vezes forem necessárias para acabar entre 1 e 2. Vamos ver o que isso dá. Temos:
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, etc.
Reduzindo-os entre 1 e 2:
| Do | 1 |
| Sol | 3/2 |
| Ré | 9/8 |
| La | 27/16 |
| Mi | 81/64 |
| Si | 243/128 |
| *** | 729/512 |
Esta é a escala pitagórica, feita com “potências de 3”. Fui até 729/512, mas na verdade, não vamos tão longe (isso seria um Fá sustenido), e falta-nos o próprio Fá. O Fá é um pouco particular em nossa construção: é, de fato, a nota que, se a tomarmos como base e procurarmos seu Sol, cai sobre o Dó inicial. Sua frequência é, portanto, na oitava inferior, não mais 3/2, mas 2/3 (portanto, menor que 1). Para colocá-lo de volta na oitava correta, é preciso multiplicá-lo por 2, o que dá 4/3. E aqui está nossa escala completa:
| Do | 1 |
| Re | 9/8 |
| Mi | 81/64 |
| Fa | 4/3 |
| Sol | 3/2 |
| La | 27/16 |
| Si | 243/128 |
| Do | 2 |
A técnica é simples, infelizmente, ela dá resultados que rapidamente se desviam do que nosso ouvido é capaz de encontrar “harmonioso”, de fato, relações simples entre as frequências de duas notas.
Por exemplo, 9/8 é aceitável, 27/16 começa a ficar no limite, e 243/128 é totalmente difícil de perceber.
Uma palavra sobre a razão para isso. Quando duas notas diferentes são tocadas ao mesmo tempo, se a proporção de suas frequências for simples, suas vibrações se sobreporão constantemente de maneira idêntica, enquanto, se essa proporção for complicada, essa sobreposição ocorrerá apenas em intervalos de tempo distantes, o que o ouvido não consegue captar.
Assim, os teóricos da música e dos fenômenos sonoros propuseram outras formas de construir uma escala. Este é particularmente o caso de Zarlin, com sua “escala natural”. Ao contrário de Pitágoras, ele concorda em usar o número 5. Como ele conseguirá reconstruir uma escala com 2, 3 e 5? Substituindo o 81/64 do Mi pela proporção muito mais simples, mas próxima, de 5/4. De fato, 5/4 também pode ser escrito (lembre-se das regras de cálculo de frações) 5 x 16 dividido por 4 x 16, ou 80/64, muito próximo de 81/64. E nessas condições, bastará também substituir no seguinte (81/64 multiplicado por 3/2, ou 243/128, como vimos) o 81/64 por 5/4, o que dará 5/4 multiplicado por 3/2, portanto, 15/8, próximo de 243/128.
Mas até mesmo 27/16 é um pouco complicado demais, e o substituímos por 5/3 (comparemos as duas proporções: 27/16 pode ser escrito como 27 x 3 dividido por 16 x 3, ou 81/48; da mesma forma, 5/3 pode ser escrito como 5 x 16 dividido por 3 x 16, ou 80/48: os dois números também são muito próximos). A série anterior de Pitágoras é, portanto, substituída pela seguinte:
| Do | 1 |
| Re | 9/8 |
| Mi | 5/4 |
| Fa | 4/3 |
| Sol | 3/2 |
| La | 5/3 |
| Si | 15/16 |
| Do | 2 |
Essa é a escala que Jean Dubuis nos indicou e são essas relações que devem corresponder aos diferentes níveis da Árvore.
Escolha do Dó
Agora que vimos como uma escala é construída, resta determinar a frequência a ser tomada como a nota base (ou como “Dó”, se preferir).
Jean diz para tomar 256. Por que esse número? A ideia por trás desse número mágico é, na verdade, dupla. Por um lado, considera-se que nosso corpo físico, assim como nosso ser espiritual, percebe de forma semelhante frequências que são idênticas em diferentes oitavas (no exemplo usado no início desta apresentação, 100, 200, 400, 800, etc. mas também, naturalmente, 50, 25, 12,5, etc.). Por outro lado, a unidade de medida do tempo, o segundo, é considerada como uma espécie de padrão universal, e isso leva a tomar 1hz como frequência base, ou seja, uma vibração por segundo: uma frequência inaudível, mas que dará sucessivas oitavas de 2hz, 4hz, 8hz, 16hz, 32hz,… 256hz, etc. (estas são, de fato, as potências de 2 bem conhecidas pelos cientistas da computação, pois são a base da numeração binária usada universalmente em informática).
Isso corresponde à convenção musical ocidental que fixa precisamente as frequências a serem usadas para as diferentes notas, graças ao Lá do diapasão? Este Lá está definido em 440hz. Qual é a frequência do Dó correspondente? É a frequência que, multiplicada por 5/3, dá 440, então (mais um pouco de cálculo com frações…) 440 multiplicado por 3 e dividido por 5, o que dá 264. Como sabemos, o Lá teve uma tendência a aumentar por vários séculos, e provavelmente correspondia originalmente a um Dó precisamente em 256, portanto, um Lá em 256 multiplicado por 5 e dividido por 3, ou mais provavelmente 256 multiplicado por 27 e dividido por 16 (cf. escala pitagórica acima), ou 432.
O “diapasão” variou muito ao longo do tempo e de acordo com a região. Só pôde ser gradualmente unificado graças à invenção do pequeno garfo vibrante (precisamente também chamado de “diapasão”), que possibilitou ter um instrumento de afinação barato e facilmente transportável. Em 1885, por exemplo, o Lá foi oficialmente definido em 435. Desde então, sofreu uma tendência geral de aumento, até alcançar esses oficiais 440hz.
Mas vamos tomar 264 ou 256 como a frequência base? Pessoalmente, acredito que o segundo não é um padrão arbitrário, mas que é construído “à medida do ser humano”. Estes são ritmos biológicos. Sabemos que temos uma espécie de relógios que regulam nosso funcionamento. O mais óbvio é o de 24 horas. Mas experimentos mostraram que, na verdade, ninguém está exatamente ajustado para 24 horas: para alguns, o relógio é mais rápido (ele “completa sua volta” em pouco menos de 24 horas, por exemplo, 23 horas e alguns minutos), e para outros, é um pouco mais lento (um pouco mais de 24 horas).
Da mesma forma, acho que o segundo é baseado em um relógio biológico que é simplesmente nosso ritmo cardíaco. Aqui também, alguns têm um ritmo mais rápido (intervalo entre dois batimentos inferior a um segundo) e outros um ritmo mais lento (intervalo superior a um segundo). Além disso, esse ritmo varia para o mesmo indivíduo, dependendo das circunstâncias. No entanto, me parece que o segundo foi determinado a partir desse ritmo. Como, se esse ritmo não é universal? Os primeiros astrônomos/astrólogos, qualquer que fosse sua civilização, tiveram que aprender inicialmente a medir o tempo para ter uma forma de conhecer e controlar o ritmo anual. Esse ritmo está sujeito à (aparente…) revolução do Sol na esfera celeste, que ocorre em pouco mais de 365 dias. Para ser rigoroso, seria, portanto, necessário graduar o círculo celeste, o Zodíaco, em 365 seções. Infelizmente, 365 é um número difícil de manipular. Por outro lado, o número próximo de 360 é muito interessante, porque é divisível por muitos números: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 45, 60, 90… e talvez eu tenha esquecido alguns. Assim, dividimos o círculo em 360 graus, e a cada dia o sol avança na esfera celeste por pouco mais de um grau. A diferença se torna incômoda apenas no final do ano, quando será necessário adicionar 5 graus de uma vez (para os egípcios, esses eram os dias “epagômenos”).
Isso tem uma consequência importante: a introdução de cálculos em base 12, que é divisível por 2, 3, 4 e 6, por mais números do que 10, que só é divisível por 2 e 5. Voltemos à pulsação cardíaca. Se é um ritmo que permite medir tempos muito curtos, os antigos notaram que, tomando um intervalo muito preciso, poderíamos dividir o dia com esse intervalo usando apenas contagens em base 12: 60 segundos para uma unidade intermediária, o minuto, depois 60 minutos para uma hora e, finalmente, 24 horas (na verdade, 2 vezes 12) para um dia.
Assim, acredito que há mais do que uma coincidência entre a proximidade do segundo e o ritmo cardíaco. Mas esta é uma opinião pessoal que não foi validada por Jean Dubuis. Se correta, isso significa que deveríamos, na verdade, estar usando uma frequência base que corresponde ao nosso ritmo cardíaco, calculada usando um “segundo” personalizado. Dou a fórmula para quem se interessar. Meça seu número de batimentos em um minuto, o que lhe dará um número N em princípio próximo de 60 ou 70 (isso provavelmente terá que ser feito ao acordar, o que dá o ritmo do corpo “em repouso”). A frequência base será:
256 x N / 60, arredondada para o número inteiro mais próximo.
Por exemplo: N=65, então a frequência = 256 x 65 / 60, ou 277 hz.
Em todos os casos, o Sol deve estar em uma frequência de 3/2 (ou 1,5 vezes) a frequência do Dó. No exemplo acima: 277 x 1,5 = 416. Esse último valor também é obtido aplicando a fórmula acima ao Sol que corresponde ao Dó 256, cuja frequência é 384 (256 x 1,5). Então: 384 x N / 60, ou 384 x 65 / 60 (faça o cálculo, dá 416).
Dito isso, cabe a cada um adotar ou não minha proposta como preferir e, em qualquer caso, determinar por si mesmo qual é a verdadeira frequência que lhe pertence. Para isso, não tenho nenhuma técnica particular para lhe oferecer: experimente variações em torno de 256 ou da frequência calculada como acima, até sentir que uma delas lhe convém melhor.
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