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Si estás leyendo este texto mientras trabajas en lugar de trabajar o durante clase en lugar de estudiar, tenemos buenas y malas noticias. La buena noticia es que leer sobre el infinito puede hacerte sentir que el tiempo pasa más rápido. La mala noticia es que cuando jugamos con el infinito, nos vemos obligados a admitir que el momento de dejar el trabajo o la clase, en términos matemáticos, nunca debería llegar. Por lo tanto, el objetivo principal de este artículo es mostrar que Ella (Matemáticas) es una ninfómana. y susurra en nuestros oídos una y otra vez, una y otra vez, una y otra vez, una y otra vez.
Siempre que el reloj no parece avanzar, tenemos la oportunidad de recordar que el tiempo es un concepto mucho más complejo de lo que estamos acostumbrados. Considera que solo faltan 20 minutos para regresar a casa. Nos vemos obligados a admitir que antes de que pasen 20 minutos, deben pasar 10 minutos. Pero además, antes de que pasen 10 minutos deben correr 5 minutos. Pero antes de eso debe transcurrir 1 minuto. Y antes, 30 segundos… bueno, ya deberías entenderlo. El problema crucial es que el tiempo se puede dividir infinitamente, de modo que nos vemos obligados a admitir que para que pase un insignificante segundo tenemos que cruzar el infinito. Por otro lado, cuando vivimos en un espacio curvo y relativo, el tiempo siempre parece pasar más lentamente para quienes están en movimiento que para quienes están estacionarios. Pero esta es otra historia.
La paradoja de Zenón
Lo que vimos arriba es una variación de una de las paradojas de Zenón, en la que el héroe Aquiles nunca debería alcanzar a la tortuga. Imagina que “The Flash”™ y “Jaba, the hutt”™ van a correr. Como Flash es tan rudo, deja que Jaba tome la delantera con un día de ventaja. Después de eso despega a la velocidad de la luz… Pero piénsalo conmigo:
1 – Para adelantar a Jaba primero debe llegar a donde ya llegó (punto x).
2 – Como ambos se mueven constantemente, cuando llegan a X, Jaba ya ha gateado otros dos metros (X+2=y)
3 – Para llegar al punto Y primero debe llegar a donde ya llegó.
4 – Al llegar a Y Jaba ya se alargó un poquito más (y+ (un poquito)=z)
5 – Para llegar al punto Z primero debe llegar a donde ya llegó…
etc ..
Al igual que el tiempo, el espacio también se puede dividir infinitamente, por lo que Flash nunca llegará al gordo Jaba. No importa qué tan rápido sea el primero o qué tan divagante sea el segundo. Estos problemas fueron formulados por Zenón alrededor de 400 años antes de Cristo y molestan hasta el día de hoy a los lógicos, porque aunque sigue una lógica estricta sabemos que por mucho que tarde, siempre llega la hora de comer y siempre podemos adelantar al coche de delante. Quizás esto ocurra porque, al igual que la materia y la energía, el tiempo y el espacio también tienen una unidad mínima por debajo de la cual no pueden contarse. En este caso podríamos entender la construcción espacio-tiempo como si estuviera compuesta de píxeles y medio píxel no pudiera iluminarse.
Georg Cantor y los distintos tipos de Infinito
Pero por motivos de salud, el infinito fue dejado de lado por los matemáticos durante siglos hasta que Georg Cantor (1845-1918) decidió romper el tabú. De hecho, Singer acabó con su vida en un hospital psiquiátrico, pero su esquizofrenia le abrió puertas interesantes que no se han cerrado hasta el día de hoy.
Singer era un hombre religioso. De aquellos que no sólo hablan con Dios, sino que escuchan la respuesta. Creía que existen diferentes tipos de infinitos y dedicó su vida a demostrarlo mediante cálculos. En el camino fue hospitalizado varias veces e inventó la teoría de conjuntos y una rama completamente nueva de las matemáticas.
Sus compañeros conocían desde hacía tiempo los números naturales (1,2,3,4,5), los números enteros (…-2,-1,0,+1,+2…), los números racionales (0.5,1.42,23.23, XNUMX… ) lo irracional (π, y, etc.) y los reales (que incluyen todos los anteriores). Pero nadie había considerado que incluso si todos los números son infinitos, algunos son más infinitos que otros.
Los números irracionales, por ejemplo, no pueden representarse mediante una fracción simple, ni siquiera mediante un número decimal. En consecuencia, Cantor demostró que aunque los números naturales y racionales son contables, los números irracionales y reales no lo son. Piénsalo así... incluso si estás en una fila interminable en el Banco del Infierno y tu contraseña es 100000000000000000000000000000000000000000, sabes que serás el próximo cuando se anuncie el número 99999999999999999999999999999999999999999. Pero si Satanás llama a π, nadie sabrá quién sería el próximo.
Por tanto, los números irracionales son más infinitos que los números racionales. Son tan espectacularmente infinitos que se han ganado su propio nombre: “transinfinitos”. Cantor representó el conjunto de los infinitos racionales, por 0 (alef cero) y los transinfinitos irracionales por 1 (alef 1). En otras palabras, los números naturales son infinitos en una dirección… 1->2. Los números enteros son infinitos en dos direcciones -1<-0->1, ¡pero los números irracionales desgarran el tejido de las matemáticas y son infinitos hacia adentro! No sorprende que Cantor haya pasado su vejez en un hospicio.
El hotel Hilbert está lleno
Pero el universo 0 también tiene sus encantos. Conocer a tus vecinos trae algunas ventajas. Una de estas ventajas se puede entender a través de la paradoja del Hotel Hilbert, que recibió este nombre porque fue descubierto por el matemático alemán. David Hilbert (1862-1943) quien profundizó en los estudios del infinito iniciados por Cantor.
Imagina que acabas de llegar al Hotel Hilbert y pides plaza. Elegiste este hotel precisamente porque sabes que allí hay infinitas habitaciones, pero para tu sorpresa la recepcionista te informa que están llenas. Todas las habitaciones del hotel infinito están ocupadas por infinitos huéspedes. ¿Qué hacer?
Hilbert sugiere que esto se puede resolver si el gerente traslada al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al huésped de la habitación 2 a la habitación 3, y así sucesivamente. De esta forma, a pesar de los inconvenientes, aparecerá una habitación vacía.
En el Hotel Hilbert siempre hay habitaciones libres, incluso cuando está lleno.
Por LöN Plo
