Leer en 12 minutos.
Este texto fue lamido por 147 almas esta semana.
“En una autocracia, una persona gobierna las cosas; en una oligarquía, unas pocas personas gobiernan las cosas; En una democracia nadie está a cargo de nada”. – Celia Verde
Si a partir de un juego de Sérgio Mallandro es posible descubrir matemáticas avanzadas, pasando de las probabilidades condicionadas a la teoría de juegos, e incluso profundizando en cuestiones filosóficas sobre el Apocalipsis, uno de los programas más populares de la televisión brasileña no podía quedarse atrás.
En esta columna veremos cómo Gran Hermano Brasil puede ayudar a demostrar un teorema poco conocido, demostrado matemáticamente hace unas décadas. En pocas palabras, el teorema demuestra que la democracia es estrictamente imposible.
Nunca volverás a ver la televisión de la misma manera. Incluido el horario electoral.
- -
Preferencias circulares
Empecemos pensando en pequeño. Imagine una versión de reality show en la que solo tres de los directores del programa deciden el ganador; algunos podrían pensar que todos los programas son así, pero cualquier parecido con la vida real es pura coincidencia. Hacia el final, sólo quedan tres participantes, a los que podemos llamar A(lemão), B(ambam) y C(ida).
Los tres directores votan un papel para elegir al ganador, ordenando a los participantes por orden de preferencia. Muy bien. Al final, descubren que tienen un gran problema. Los votos son:
Director 1: A > B > C
Director 2: B > C > A
Director 3: C > A > B
Ninguno de los participantes logró ser el favorito de dos directores. Peor aún: si analizas cuánto se prefiere a cada participante sobre el otro, descubrirás que todos siguen empatados. La situación para cada uno de los tres candidatos es exactamente la misma, y esta incómoda paradoja en los sistemas de votación fue descubierta por primera vez por el marqués de Condorcet en el siglo XVIII: en aquella época no existía el BBB.
Puede parecer poco probable que se produzca esta exacta simetría de preferencias. Veremos esto con más detalle más adelante, pero primero conviene señalar aquí algo curioso.
Si uno de los participantes abandona la disputa, sucede algo inusual. En lugar de que los dos participantes restantes queden empatados, como supondríamos en un principio, lo que parece “justo”, ¡lo que sucede es que uno de ellos se convertirá en el ganador!
Mira qué pasa si BamBam abandona el concurso. Sin cambios las preferencias de los tres directores, ahora tenemos:
Director 1: A > B > C = A > C
Director 2: B > C > A = C > A
Director 3: C > A > B = C > A
¡Vaya! El Cida es claramente el ganador, con dos votos. Por otro lado, si Alemão abandona la disputa, ¿quién será el ganador?
Director 1: A > B > C = B > C
Director 2: B > C > A = B > C
Director 3: C > A > B = C > B
¡Bambam, no Cida, gana otro BBB! En nuestra situación, puramente hipotética, hay que repetirla, BamBam no necesitó hacer nada para ganar. Y, lo más importante, el orden de preferencia de los directores tampoco ha cambiado. La simetría de los votos se rompió, no porque uno de los participantes ganara mayor simpatía, sino por la mera salida de la votación de un competidor. Al igual que en Wacky Race, a veces la forma más fácil de ganar puede ser eliminar al competidor adecuado. A menos, por supuesto, que seas Dick Dastardly.
Si esto parece injusto, es sólo el comienzo. Extrañas posibilidades rodean a los sistemas de votación.
- -
“Mi nombre es Eneas”
Los candidatos políticos no son, ni deberían ser, defensores de una sola bandera. Sin embargo, si lo fueran, al menos evitarían el surgimiento de aún más paradojas electorales. Porque elegir un candidato en función de las diferentes posiciones que defiende puede volver a dar lugar a situaciones incómodas.
Considera que hay dos temas vitales en una elección en tu ciudad. La primera es si, para equilibrar las cuentas, el futuro alcalde permitirá la construcción de una penitenciaría federal o si, en cambio, recortará las inversiones en salud. La otra cuestión esencial para el futuro de sus conciudadanos es si el alcalde debería utilizar Jeans o Traje durante el mandato.
Un candidato que defienda la construcción de la Penitenciaría y el uso de Jeans ondeará la bandera del PJ, y así sucesivamente. Sólo hay cuatro combinaciones posibles en estas dos preguntas: PJ, PT, SJ y ST. Ah, sí, considera también que tu ciudad sólo tiene tres votantes.
Una encuesta de opinión encontró que los votantes tienen los siguientes órdenes de preferencia:
Votante 1: SJ > ST > PJ > PT
Votante 2: ST > PT > SJ > PJ
Votante 3: PJ > PT > SJ > ST
¿Quién sería el futuro alcalde? Está claro que cada uno de los tres votantes tiene una primera preferencia diferente. Pero si analizamos la segunda preferencia, un candidato que apoye las posiciones del PT* parece prometedor. Sin embargo, para dos votantes (1 y 2), el ST parece mejor que el PT, y bastaría con defender estas posiciones para ganarle a un candidato que apoye al PT. Al mismo tiempo, para dos votantes, la posición del SJ es mejor que la del ST. Etcétera.
Como vimos anteriormente en el hipotético BBB, existe una simetría y ninguna posición gana a todas las demás por mayoría. Además de este “empate técnico”, aquí sucede algo más siniestro.
Para dos votantes (1 y 2) el recorte del gasto en salud es preferible al Penitenciario, siendo parte de la primera opción. Y también para la mayoría de los votantes (1 y 3), los vaqueros son más apropiados que el traje. Si hubiera votaciones separadas sobre cada uno de estos temas, Salud y Jeans serían claramente las opciones ganadoras. Por lo tanto, sería natural esperar que ganara el candidato que apoya las posiciones S y J, ¿verdad?
Equivocado. Podemos ver que la posición combinada del SJ pierde frente a la posición del PT para dos de los votantes (2 y 3). De hecho, si hubiera sólo dos candidatos, uno que defendiera las posiciones preferidas, aisladamente, por la mayoría –SJ– y el otro las de la minoría, el PT, ganaría el candidato de la minoría. Con voto mayoritario. Otra encantadora paradoja electoral.
En términos generales, fenómenos similares ocurren en elecciones muy reales. Al basarse cada vez más en las encuestas de opinión y moldear sus posiciones en función de ellas, los políticos terminan a menudo haciendo todo lo posible para complacer a los grupos minoritarios, lo que puede parecer irracional dada la desaprobación de la mayoría de los demás votantes.
Pero incluso si la mayoría de la gente no está de acuerdo con una posición política, esta preferencia puede distribuirse de manera heterogénea, haciendo que los candidatos obtengan más votos al defender ideas impopulares, pero que agradan a grupos pequeños, lo que les garantizará más votos en el balance final.
La democracia ya no debe parecer tan justa. Pero el golpe de gracia se daría en el siglo XX.
- -
Teorema de la flecha
En una obra con el inocente título de “Una dificultad en el concepto de bienestar social”, publicada en 1950, el economista Kenneth Arrow presentó un teorema que demostraría rigurosamente en su tesis doctoral del año siguiente. De hecho, una pequeña “dificultad en el concepto de bienestar social”, el teorema demuestra que ningún sistema de votación mínimamente razonable reflejará siempre de manera precisa y consistente las preferencias de sus votantes.
La forma en que Arrow demostró su teorema matemático con profundas implicaciones sociales es interesante, especialmente en su razonamiento final. Primero definió formalmente que la elección individual debe cumplir dos requisitos: comparabilidad (entre dos elementos, uno prefiere al otro) y transitividad (si prefieres x > y, y > z, entonces prefieres x > z).
Luego definió claramente lo que sería un “sistema de votación mínimamente razonable”. Debe cumplir con las siguientes características:
– Libertad de elección individual:
Cada elector puede tener el orden de preferencias que desee, sin limitación alguna;
– Independencia de alternativas irrelevantes:
Si prefieres los perros a los gatos, la creación de un mono con cuatro traseros mediante el milagro de la ingeniería genética no debería influir en tu amor por los perros sobre los gatos;
– Eficiencia de Pareto:
En nombre de un economista italiano que reflexionó sobre estas cuestiones sociales unas décadas antes, dice que si todos los votantes tienen preferencia por los perros sobre los gatos, entonces la preferencia social, el resultado de las elecciones, también debe reflejar esta preferencia;
– Abajo la dictadura:
El resultado de la función social debe reflejar las preferencias de todos los votantes. No puede ser simplemente el resultado de las decisiones de un solo votante, que sería el Gran Dictador.
El economista simplemente analizó todos los sistemas electorales conocidos y demostró que siempre conducen a contradicciones. "No existe ningún método para combinar preferencias individuales para producir una elección colectiva que cumpla con todas estas condiciones", escribió. En particular, Arrow demostró que sólo se cumplen condiciones mínimamente razonables si hay un votante decisivo, es decir, el único sistema electoral libre de paradojas sería la dictadura.
El teorema es aterrador debido a su generalidad. Podríamos pensar que ante paradojas electorales como las comentadas anteriormente bastaría con tomar medidas correctoras especiales, o que debe existir alguna forma de voto perfecto. Sin embargo, el teorema de Arrow demuestra que el problema es más fundamental**.
Aún más preocupante es que las paradojas electorales como la de Condorcet, analizadas en el hipotético BBB anterior, no son tan raras. En el caso de sólo tres directores y tres competidores, la paradoja surge cuando la primera, segunda y tercera opción de cada votante no están de acuerdo con todas las demás. Las posibilidades de que esto ocurra son 12/216, o 5,6%. Pequeño, es verdad.
Sin embargo, si aumenta el número de contendientes entre los que elegir, las posibilidades de que surja una paradoja electoral aumentarán rápidamente. Con siete competidores y tres directores, la probabilidad de que se produzca una paradoja se acerca ahora al 24%. Con siete competidores y varios millones de votantes, las posibilidades de que surja una paradoja aumentan y se acercan al límite matemático del 37%. Si se aumenta el número de competidores y votantes, las posibilidades de que se produzca una paradoja electoral pueden alcanzar rápidamente el 100%.
Kenneth Arrow recibió el Premio Nobel de Economía en 1972 por su teorema sobre esta “pequeña dificultad”, ampliando un área completamente nueva de estudio económico, la teoría de la elección social.
- -
"Y ahora, ¿quién puede defendernos?"
¿Deberíamos buscar un dictador del Gran Hermano que nos libere de la mentira matemáticamente probada de la democracia, a través de la Verdad Única de IngSoc? Bueno, no tan rápido.
Los supuestos “mínimamente razonables” del teorema de Arrow para los sistemas de votación son ciertamente razonables, pero como muchas cuestiones matemáticas, su aplicación en la vida real no es tan sencilla. Se podría, por ejemplo, señalar que la elección individual puede no ser necesariamente transitiva. Quizás prefieras un perro a un gato y un gato a un mono con cuatro traseros, pero quizás prefieras un mono con cuatro traseros a un perro. La elección es toda suya, y muchos estarían de acuerdo en que su libertad de elección debe preceder a lo que consideraríamos coherente.
Más relevante aún, la creación de un mono de cuatro patas podría afectar la preferencia de muchas personas entre perros y gatos. Quizás esta nueva mascota le brinde una perspectiva completamente nueva sobre lo que le gusta de un canino o felino. La independencia de alternativas irrelevantes tampoco parece ser un criterio tan estrictamente aplicable.
Y como prueba matemática, el teorema de Arrow deja de ser válido si sus supuestos se relajan o también dejan de ser válidos. Sin el grave veredicto del teorema de Arrow, descubrimos que hay sistemas de votación que cumplen bien parte de los criterios razonables. No se debe tirar la bañera con el bebé (o algo así), si la perfección no es posible, al menos acercarla es un objetivo plausible.
Desafortunadamente, los sistemas electorales a los que estamos acostumbrados están lejos de ser perfectos y son vulnerables a todo tipo de situaciones incoherentes y manipulación. Votar por un solo candidato entre una serie de alternativas, por ejemplo, extrae la menor información posible de cada votante. Es extremadamente común votar en contra de un candidato y no a favor de otro, especialmente cuando sólo se nos ofrecen dos opciones en una segunda vuelta, en la que, paradójicamente, el voto mayoritario puede no reflejar los deseos de la mayoría.
Un sistema electoral que refleje mejor las preferencias de los votantes podría tener en cuenta todas sus opciones, ¿no es así?
- -
¡Kiribati ahora!
Existe un sistema de votación centrado precisamente en este aspecto. Se trata del llamado recuento Borda, utilizado para elegir candidatos presidenciales en Kiribati, una isla del Pacífico, y para elegir miembros del Parlamento en Nauru.
Propuesto por el matemático francés Jean-Charles Borda en 1780, es claramente superior al sistema “un hombre, un voto”, y fue adoptado por la Academia de Ciencias de Francia hasta 1800, cuando fue prohibido por Napoleón, un Gran… Emperador.
En el conteo Borda, cada elector debe clasificar a los candidatos en orden de preferencia, y aquí está el simple detalle, cada candidato gana puntos según su posición en ese orden. La primera elección puede valer 3 puntos, la segunda 2, la tercera sólo un punto. El candidato con más puntos es el ganador. Simples así.
¿Cómo le iría al conteo de Borda en la BBB anterior? Veamos, cada competidor aparece una vez en el primer, segundo y tercer lugar sumando seis puntos. Aún hay empate, pero ¿qué pasa cuando uno de los competidores abandona la carrera? Si calcula los puntos según la preferencia original, los dos candidatos restantes seguirán teniendo los mismos puntos. Preservando la “memoria” del orden de preferencias, la salida de un competidor no crea ganadores en un empate. Menos mal.
¿Qué pasa con la sanidad, el centro penitenciario, los vaqueros o los trajes? Calculando puntos según el Edge Count, tenemos:
pijama: 7
Punto: 7
SJ: 8
EST: 8
Sigue habiendo empate entre dos alternativas, pero aquí la preferencia de la mayoría en temas aislados (S y J) gana claramente a la de la minoría (P y T). Mucho menos malo.
Al dar gran relevancia a todas las preferencias y a cada elector, el conteo de Borda favorece la elección de un candidato de consenso, apoyado de una forma u otra por la mayoría de los electores, y que no necesariamente puede ser el candidato mayoritario. Un candidato que es la primera opción de la mayoría, pero muy rechazado por el resto, puede perder frente a uno que es la primera y segunda opción de casi todos. El consenso vence a la “tiranía de la mayoría”.
A pesar de ser superior a “un hombre, un voto”, el conteo de Borda sigue siendo vulnerable a la manipulación y a las paradojas, y favorecer el consenso por encima de la mayoría puede desagradar a muchos, tal vez incluso a la mayoría. No es, por tanto, “perfecto”. Otras alternativas en los sistemas electorales incluyen el método Condorcet, que busca evitar que los vínculos surjan de preferencias circulares que el Marqués identificó hace más de dos siglos. Pero ninguno de ellos será “perfecto”.
Todos los sistemas electorales tienen sus fortalezas y debilidades y, rigurosamente, como lo demuestra Arrow, ninguno de ellos será perfectamente justo. Como quedó matemáticamente claro en los años posteriores a su demostración, los sistemas electorales no sólo no reflejan automáticamente los deseos de los votantes, sino que son efectivamente juegos, sujetos a estrategias óptimas y, por lo tanto, gobernados por la teoría de juegos (PDF) desarrollada por matemáticos contemporáneos de Arrow, como como cierta “mente brillante”, John Nash.
Aprender la terrible verdad sobre la democracia no puede ser placentero. Sin embargo, estas cuestiones fundamentales, que se encuentran no sólo en la aplicación práctica de los sistemas electorales, sino precisamente en su formulación matemática elemental, sólo ponen de relieve las palabras de un súbdito contemporáneo de Borda, que nació el mismo año que el marqués de Condorcet.
Ya dijo que el precio de la libertad es la vigilancia eterna. No se sientan libres simplemente votando, y si el voto directo al que tenemos derecho es claramente un gran logro, no es en modo alguno el punto final de nuestro deseo de libertad e igualdad. Todavía queda mucho por lograr.
Y se puede decir con seguridad que esto está demostrado matemáticamente, con tanta seguridad como que 1+1 es igual a 2.
- - -
* Que el acrónimo utilizado en el ejemplo sea PT es una mera coincidencia. Esta columna se basa en gran medida en la presentación del teorema de Arrow en el libro “Imposibilidad”, de John Barrow, donde la posición PT significa “atención médica privada” e “impuestos más bajos”.
** Esta columna ni siquiera intenta presentar una prueba formal del teorema de Arrow, pero no sólo puedes sino que debes estudiar el varias pruebas del teorema (PDF) ofrecido en abierto por la red si está interesado en el tema.
por Kentaro Mori
