Fragmento de Espeusipo sobre a década pitagórica

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por Speusippo

O seguinte fragmento de Speusippo[1] retirado dos Theologoumena; [ Cf. Un fragment de Speusippe, Mémoires scientifiques, T. I, nº 21, p. 281–289.] é, em suma, aquilo que pode nos oferecer a ideia mais clara das diversas considerações que os pitagóricos de sua época acumulavam a respeito dos números da década. Os números entre parênteses referem-se às notas subsequentes, nas quais indiquei as correções que devem ser feitas no texto e forneci as explicações indispensáveis para a compreensão do fragmento:

Speusipo (em grego antigo: Σπεύσιππος) foi um filósofo grego do século IV a.C., mais conhecido por ser o sobrinho e sucessor de Platão na direção da Academia de Atenas, a escola filosófica fundada por seu tio.

FRAGMENTO SOBRE A DÉCADA PITAGORICA

“Dez é um número perfeito e, com razão e de acordo com a natureza, os helenos, sem qualquer premeditação, coincidiram com todos os povos de todas as regiões ao adotarem esse número como base para contar; por isso ele possui diversas propriedades que se ajustam a tal perfeição.

O texto acrescenta aqui uma frase geralmente reconhecida como uma glosa: “Muitas dessas propriedades não lhe pertencem exclusivamente; mas, sendo ele perfeito, deve possuí-las.”

Em primeiro lugar, ele deveria ser par, para conter tantos ímpares quanto pares, sem predominância de um tipo sobre o outro; pois, como de fato o ímpar sempre precede o par, se o número limite não for par, haverá um ímpar excedente.

As três primeiras propriedades que Speusippo aponta no número 10 são: que, de 1 a 10, há tantos: 1º números pares quanto ímpares, o que é evidente desde que 10 é par; 2º números primos (1, 2, 3, 5, 7) quanto compostos (4, 6, 8, 9, 10); 3º números submúltiplos ( 1, 2, 3, 4, 5 ) quanto múltiplos ( 4, 6, 8, 9, 10). No entanto, nessa última proposição, é curioso que, uma vez que o número 1 é contado como submúltiplo, nem todos os demais números sejam considerados múltiplos, e que, em especial, o número 7 seja excluído.

Além dessa igualdade, convinha que houvesse outra, entre os números primos, ou não compostos, e os números compostos ou secundários (3); essa igualdade existe no número 10, enquanto nenhum número inferior a ele a apresenta; nos números superiores, ela pode ser encontrada, como no 12 e em alguns outros (4); mas o 10 é seu fundamento (pythmên), o primeiro que possui essa propriedade, o menor dentre os que a têm; é, assim, uma espécie de perfeição própria dele, conter pela primeira vez, em número igual, os números compostos e os não compostos (5).

(3) A expressão técnica “número secundário” (deuteros) para indicar o número composto, em oposição ao “primeiro”, já está em desuso; mas era comum entre os aritméticos gregos.

(4) É curioso que, após o 12, Speusippo tenha acrescentado que alguns outros números também apresentam essa propriedade de conter tantos primos quanto compostos. É fácil perceber que apenas 10, 12 e 14 possuem tal característica; a frase kai ho ib kai alloi tines (“e o 12 e alguns outros”) parece, portanto, suspeita.

(5) As repetições cansativas desse trecho podem ser interpretadas como a definição do termo pythmên: “o menor número que possui uma determinada propriedade”. Esse termo teve, na Antiguidade, outro sentido que também pode remontar aos pitagóricos: o de resto da divisão de um número por 9 (cf. S. Hipólito, Apolônio em Papo).

Ele apresenta ainda uma terceira igualdade, entre os múltiplos e os submúltiplos desses múltiplos, sendo os submúltiplos até 5 e seus múltiplos de 6 a 10. Pois se o número 7 não é múltiplo de nenhum número e deve ser retirado, o número 4 deve ser acrescentado (6), por ser múltiplo de 2, de forma que a igualdade é restabelecida.

(6) A expressão “deve ser acrescentado” não aparece no texto grego, o qual parece apresentar uma lacuna; mas o sentido não deixa dúvidas.

Dez contém ainda todas as relações: de igualdade, de superioridade, de inferioridade, tanto aquelas de excesso unitário (7) quanto das outras espécies, assim como os números lineares, planos e sólidos; pois o 1 é ponto, o 2 é linha, o 3 é triângulo, o 4 é pirâmide, e cada um desses números é, em seu gênero, o primeiro e o princípio dos seus semelhantes. Ora, entre si, eles apresentam a primeira das progressões (8), a de diferença constante, e essa progressão tem como soma total o número 10.

(7) Epimorios, relação de dois números inteiros consecutivos, n + 1 e n. Speusippo quer dizer que, ao considerar as relações entre os números de 1 a 10, encontram-se relações de igualdade, de maior e de menor em todas as formas possíveis. Essas formas correspondem claramente à nomenclatura das dez espécies de razões, tal como descrita por Nicômaco; a antiguidade dessa classificação complexa é, portanto, atestada aqui.

(8) Kai analoniôn de prôtê. Falei anteriormente sobre essa expressão, peculiar a Speusippo. Ele apresenta aqui a composição da tétraktis pitagórica, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, com base na qual mais adiante ele substituirá o 4 pelo 10.

Nas figuras planas e sólidas (9), os primeiros elementos são igualmente o ponto, a linha, o triângulo e a pirâmide, que novamente contêm o número 10 e nele encontram sua conclusão.

(9) Ou seja, na geometria plana e na geometria espacial. Ponto, linha, triângulo e pirâmide não representam mais números, como um pouco antes, mas sim figuras ou elementos de figuras geométricas.

Assim, a pirâmide (10) tem 4 ângulos ou 4 faces e 6 arestas, o que soma 10. Os intervalos e limites entre o ponto e a linha resultam novamente em 4, os lados e ângulos do triângulo, 6, ou seja, sempre 10 (11).

(10) Aqui, “pirâmide” é entendido como tetraedro; os ângulos são sólidos.

(11) A forma como Speusippo encontra, mais uma vez, o número 10 nessas relações é um tanto obscura. Provavelmente ele considera um ponto e uma linha; nessa linha há duas extremidades, e do ponto a essas duas extremidades existem dois intervalos; depois, em um triângulo (embora isso não esteja claramente enunciado), há 3 lados e 3 ângulos. Enquanto antes a pirâmide lhe fornecia diretamente o número 10, aqui ele combina o ponto, a linha e o triângulo.

Esse número também é encontrado nas figuras, quando se considera sua enumeração. Com efeito, o primeiro triângulo é o equilátero, que tem, por assim dizer, apenas um lado e um ângulo; digo um só, por causa da igualdade entre os lados e ângulos, e porque o que é igual é sempre indivisível e uniforme.

O segundo triângulo é o meio-quadrado; pois, apresentando apenas uma diferença nos lados ou nos ângulos, corresponde por isso à díade.

O terceiro é o hémitrigono, metade do equilátero; como não há nenhuma igualdade entre seus elementos, seu número é então 3 (12).

(12) Parece que há, na base dessa exposição, uma concepção pitagórica mal desenvolvida.

O ponto, como mônada, é necessariamente simples; a linha, como díade, deve ter duas formas — reta ou curva; o triângulo, como tríade, três formas; a pirâmide, como tétrade, quatro formas; ao todo, 10.

As três espécies de triângulos são claramente o equilátero, o isósceles e o escaleno, em que o número de elementos distintos reproduz a progressão 1, 2, 3. No entanto, Speusippo substitui o isósceles e o escaleno por dois triângulos particulares, os mesmos que reaparecem com o equilátero no Timeu de Platão. De um lado, o meio-quadrado (hemitetrágonon), ou triângulo retângulo isósceles; de outro, o que Speusippo chama de hémitrigono, ou seja, o triângulo retângulo escaleno obtido ao dividir o equilátero com uma perpendicular traçada de um vértice ao meio da base.

As pirâmides, por analogia, deveriam ser subdivididas em quatro tipos de tetraedros, conforme todos os ângulos sólidos, três ou apenas dois sejam iguais, ou todos diferentes. Speusippo novamente escolhe tipos específicos, mas o da segunda classe já não se adequa, pois introduz uma pirâmide com base quadrada.

Para os sólidos, procedendo da mesma forma, chega-se a 4, encontrando-se assim novamente a década.

Com efeito, a primeira pirâmide é, por assim dizer, uma unidade (13), pois, em razão da igualdade, parece ter apenas uma aresta ou uma face. A segunda pirâmide será, da mesma forma, uma díade (14), já que seus ângulos na base são formados por três planos, e o ângulo no vértice por quatro, de modo que essa diferença a aproxima da díade. A terceira pirâmide será uma tríade, construída sobre o meio-quadrado; com a diferença que observamos no meio-quadrado como figura plana, apresenta outra, correspondente ao ângulo do vértice; há, portanto, uma correspondência entre a tríade e essa pirâmide, cujo vértice, aliás, é suposto estar sobre a perpendicular ao meio da hipotenusa (15) da base. Finalmente, da mesma forma, a quarta pirâmide será uma tétrade, construída sobre uma base hémitrigona (16).

(13) Triás gár pôs hē mén prôtē pyramís mían pôs grammḗn te kaì epipháneian en isótēti échousa. O primeiro termo, triás, não pode ser mantido; é a terceira pirâmide (hē dè trítē triádi) que é uma tríade; a primeira só pode ser uma mônada, e deve-se seguramente restituir monás. Esta primeira pirâmide é evidentemente o tetraedro regular.

(14) As palavras em itálico correspondem a uma lacuna no texto após a frase reproduzida na nota anterior. Suponho, para preencher a lacuna, as palavras: dyás dè hē deútera; o texto continua: parà tês epì tês baseōs gōnías hypò triōn epipédōn periechoménē, tēn katà koruphḗn hypò tettárōn synkleiómenē, hōste ek toútou dyádi eoikénai. Essa segunda pirâmide, portanto, tem base quadrada e é regular, ou seja, as quatro arestas do vértice à base são iguais.

(15) Pleurá, literalmente “lado”. Essa terceira pirâmide, cuja base é o meio-quadrado, é obtida cortando a segunda pirâmide com um plano que passa pelo vértice e por uma diagonal da base quadrada.

(16) Tetrádi dè hē tetártē katà taûta, epì hemitetragṓnō básei synistaménē. É certo que aqui hemitrigṓnō deve substituir hemitetragṓnō, pois é a terceira pirâmide que tem como base o meio-quadrado, epì hemitetragṓnō bebekuía. Essa quarta pirâmide tem por base o tipo de triângulo escaleno, e pode-se supor que, como nas anteriores, as arestas do vértice à base sejam iguais. Ela seria obtida dividindo o tetraedro regular em duas partes iguais por um plano que bisseta um de seus ângulos diedros.

Assim, essas figuras encontram sua conclusão no número 10. O mesmo ocorre com a geração; pois, no que diz respeito à grandeza, o primeiro princípio é o ponto, o segundo é a linha, o terceiro é a superfície e o quarto é o sólido (17).”

(17) O fragmento termina abruptamente. Speusippo provavelmente continuou por bastante tempo no mesmo estilo.

Em suma, trata-se de uma série de refinamentos sutis que não têm importância do ponto de vista da ciência aritmética, mas que atestam o grau de desenvolvimento que ela já havia alcançado àquela época.

Fonte: https://remacle.org/bloodwolf/philosophes/speusippe/fragments.htm